Решение уравнения Бургера с помощью физически информированных нейронных сетей на PyTorch

Руководство по решению уравнения Бургерса с использованием нейронных сетей, учитывающих физику

Введение в нейронные сети, учитывающие физику

В этом руководстве мы рассмотрим инновационный подход к решению одномерного уравнения Бургерса с использованием нейронных сетей, учитывающих физические законы (PINNs). Мы используем библиотеку PyTorch и Google Colab для реализации данного метода.

Установка необходимых библиотек

Первым шагом является установка библиотек PyTorch и matplotlib с помощью pip:

!pip install torch matplotlib

Импорт необходимых библиотек

Импортируем основные библиотеки:

import torch import torch.nn as nn import torch.optim as optim import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt

Определение параметров симуляции

Задаем параметры для симуляции уравнения Бургерса, включая границы и количество точек:

x_min, x_max = -1.0, 1.0 t_min, t_max = 0.0, 1.0 nu = 0.01 N_f = 10000 N_0 = 200 N_b = 200

Создание нейронной сети

Определяем архитектуру нейронной сети, учитывающей физику:

class PINN(nn.Module): def __init__(self, layers): super(PINN, self).__init__() self.layers = nn.ModuleList() for i in range(len(layers) - 1): self.layers.append(nn.Linear(layers[i], layers[i + 1]))

def forward(self, x): for layer in self.layers[:-1]: x = torch.tanh(layer(x)) return self.layers[-1](x) layers = [2, 50, 50, 50, 50, 1] model = PINN(layers)

Обучение модели

Настраиваем цикл обучения нейронной сети с использованием оптимизатора Adam:

optimizer = optim.Adam(model.parameters(), lr=1e-3) num_epochs = 5000 for epoch in range(num_epochs): optimizer.zero_grad() loss = loss_func(model) loss.backward() optimizer.step() if (epoch + 1) % 500 == 0: print(f'Epoch {epoch + 1}/{num_epochs}, Loss: {loss.item():.5e}') print("Обучение завершено!")

Визуализация результатов

Создаем сетку точек и визуализируем предсказанное решение:

u_pred = model(XT_tensor).cpu().numpy().reshape(N_t, N_x) plt.figure(figsize=(8, 5)) plt.contourf(X, T, u_pred, levels=100, cmap='viridis') plt.colorbar(label='u(x,t)') plt.xlabel('x') plt.ylabel('t') plt.title("Предсказанное решение u(x,t) с помощью PINN") plt.show()

Заключение

Мы продемонстрировали, как PINNs могут эффективно решать уравнение Бургерса, интегрируя физические законы в процесс обучения. Этот метод открывает новые возможности для решения более сложных задач в вычислительной науке и инженерии.